以兩自由度機器人為例，介紹在關(guān)節(jié)空間和在直角坐標空間進行軌跡規(guī)劃的基本原理。如圖5-3所示，要求機器人從A 點運動到B 點。機器人在A 點時的關(guān)節(jié)角為α=20°, β=30°。假設(shè)已算出機器人達到B 點時的關(guān)節(jié)角是α=40°,β=80°,同時已知機器人兩個關(guān) 節(jié)運動的Z大速率均為10°/s 。機器人從A 點運動到B 點的一種方法是使所有關(guān)節(jié)都以其Z大角速度運動，這就是說，機器人下方的連桿用2s 即可完成運動，而如圖5-3所示，上方的連桿還需 再運動3s 。 圖5-3中畫出了操作臂末端的軌跡，可 見其路徑是不規(guī)則的，操作臂末端走過的距離也是 不均勻的。

將機器人操作臂兩個關(guān)節(jié)的運動用一個公共因子做歸一化處理，使其運動范圍較小的關(guān)節(jié)運動成 比例地減慢，這樣可使得兩個關(guān)節(jié)能夠同步開始和 同步結(jié)束運動。這時兩個關(guān)節(jié)以不同速度一起連續(xù)運動，即α每秒改變4°,而β每秒改變10°。從 圖5-4可以看出，得出的軌跡與前面不同，該運動軌 跡的各部分比以前更加均衡，但是所得路徑仍然是不規(guī)則的。這兩個例子都是在關(guān)節(jié)空間中 進行規(guī)劃的，所需的計算僅是運動終點的關(guān)節(jié)量，而第二個例子中還進行了關(guān)節(jié)速率的歸一 化處理。

現(xiàn)在假設(shè)希望機器人的末端執(zhí)行器沿A 點 到B 點之間的一條已知直線路徑運動。Z簡 單的解決方法是先在A 點 和B 點之間畫一直線，再將這條線等分為幾部分，例如分為5 份，然后如圖5-5所示計算出各點所需要的α和β值，這一過程稱為在A 點 和B 點之間插 值。可以看出，這時路徑是一條直線，而關(guān)節(jié)角并非均勻變化。雖然得到的運動是一條已知 的直線軌跡，但需要計算直線上每點的關(guān)節(jié)量。顯然，如果路徑分割的部分太少，將不能保 證機器人在每一段內(nèi)嚴格地沿直線運動。為獲得更好的沿循精度，就需要對路徑進行更多的 分割，也就需要計算更多的關(guān)節(jié)點。由于機器人軌跡的所有運動段都是基于直角坐標進行計 算的，因此它是直角坐標空間的軌跡。

在前面的例子中均假設(shè)機器人的驅(qū)動裝置能夠提供足夠大的功率來滿足關(guān)節(jié)所需的加速 和減速，如前面假設(shè)操作臂在路徑D一段運動的一開始就可立刻加速到所需的期望速度。如 果這一點不成立，機器人所沿循的將是一條不同于前面所設(shè)想的軌跡，即在加速到期望速度 之前的軌跡將稍稍落后于設(shè)想的軌跡。為了改進這一狀況，可對路徑進行不同方法的分段， 即操作臂開始加速運動時的路徑分段較小，隨后使其以恒定速度運動，而在接近 B 點時再 在較小的分段上減速，如圖5-6所示。當(dāng)然對于路徑上的每一點仍須求解機器人的逆運動學(xué) 方程，這與前面幾種情況類似。如在該例中，不是將直線段AB 等分，而是在開始時基于方程(172)at² 進行劃分，且到具到達所需要的運動 速度時為止，末端運動則依據(jù)減速過程類似地進行 劃分。

還有一種情況是軌跡規(guī)劃的路徑并非直線，而 是某個期望路徑(例如二次曲線),這時需要基于 期望路徑計算出每一段的坐標，并進而計算相應(yīng)的 關(guān)節(jié)量才能實現(xiàn)沿循期望路徑運動。至此只考慮了 機器人在 A 、B 兩點間的運動，而在多數(shù)情況下， 可能要求機器人順序通過許多點。下面進一步討論 多點間的軌跡規(guī)劃，并Z終實現(xiàn)連續(xù)運動。 圖5-6具有加速和減速段的軌跡規(guī)劃 如圖5-7所示，假設(shè)機器人從A 點經(jīng)過B 點運 動到C 點。一種方法是從A 向B 先加速，再勻速，接近B 時減速并在到達B 時停止，然后 由 B 到C 重復(fù)這一個過程。這一停一走的不平穩(wěn)運動包含了不必要的停止動作。一種可行 方法是將B 點兩邊的運動進行平滑過渡。機器人先抵達B 點(如果必要的話可以減速),然 后沿著平滑過渡的路徑重新加速，Z終抵達并停在C 點。平滑過渡的路徑使機器人的運動 更加平穩(wěn)，降低了機器人的應(yīng)力水平，并且減少了能量消耗。如果機器人的運動由許多段組 成，所有的中間運動段都可以采用過渡的方式平滑連接在一起。但需要注意由于采用了平滑 過渡曲線，機器人經(jīng)過的可能不是原來的B 點而是B'點[如圖5-7(a) 所示]。如果要求機 器人準確經(jīng)過B 點，可事先設(shè)定一個不同的B"點，使得平滑過渡曲線正好經(jīng)過B 點[如圖 5-7(b) 所示]。另一種方法如圖5-8所示，在B 點前后各加過渡點D 和E, 使 得B 點落在 DE 連線上，確保機器人能夠經(jīng)過 B 點 。