以兩自由度機(jī)器人為例，介紹在關(guān)節(jié)空間和在直角坐標(biāo)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃的基本原理。如圖5-3所示，要求機(jī)器人從A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)。機(jī)器人在A 點(diǎn)時(shí)的關(guān)節(jié)角為α=20°, β=30°。假設(shè)已算出機(jī)器人達(dá)到B 點(diǎn)時(shí)的關(guān)節(jié)角是α=40°,β=80°,同時(shí)已知機(jī)器人兩個(gè)關(guān) 節(jié)運(yùn)動(dòng)的Z大速率均為10°/s 。機(jī)器人從A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)的一種方法是使所有關(guān)節(jié)都以其Z大角速度運(yùn)動(dòng)，這就是說，機(jī)器人下方的連桿用2s 即可完成運(yùn)動(dòng)，而如圖5-3所示，上方的連桿還需 再運(yùn)動(dòng)3s 。 圖5-3中畫出了操作臂末端的軌跡，可 見其路徑是不規(guī)則的，操作臂末端走過的距離也是 不均勻的。

將機(jī)器人操作臂兩個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)用一個(gè)公共因子做歸一化處理，使其運(yùn)動(dòng)范圍較小的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)成 比例地減慢，這樣可使得兩個(gè)關(guān)節(jié)能夠同步開始和 同步結(jié)束運(yùn)動(dòng)。這時(shí)兩個(gè)關(guān)節(jié)以不同速度一起連續(xù)運(yùn)動(dòng)，即α每秒改變4°,而β每秒改變10°。從 圖5-4可以看出，得出的軌跡與前面不同，該運(yùn)動(dòng)軌 跡的各部分比以前更加均衡，但是所得路徑仍然是不規(guī)則的。這兩個(gè)例子都是在關(guān)節(jié)空間中 進(jìn)行規(guī)劃的，所需的計(jì)算僅是運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)的關(guān)節(jié)量，而第二個(gè)例子中還進(jìn)行了關(guān)節(jié)速率的歸一 化處理。

現(xiàn)在假設(shè)希望機(jī)器人的末端執(zhí)行器沿A 點(diǎn) 到B 點(diǎn)之間的一條已知直線路徑運(yùn)動(dòng)。Z簡(jiǎn) 單的解決方法是先在A 點(diǎn) 和B 點(diǎn)之間畫一直線，再將這條線等分為幾部分，例如分為5 份，然后如圖5-5所示計(jì)算出各點(diǎn)所需要的α和β值，這一過程稱為在A 點(diǎn) 和B 點(diǎn)之間插 值。可以看出，這時(shí)路徑是一條直線，而關(guān)節(jié)角并非均勻變化。雖然得到的運(yùn)動(dòng)是一條已知 的直線軌跡，但需要計(jì)算直線上每點(diǎn)的關(guān)節(jié)量。顯然，如果路徑分割的部分太少，將不能保 證機(jī)器人在每一段內(nèi)嚴(yán)格地沿直線運(yùn)動(dòng)。為獲得更好的沿循精度，就需要對(duì)路徑進(jìn)行更多的 分割，也就需要計(jì)算更多的關(guān)節(jié)點(diǎn)。由于機(jī)器人軌跡的所有運(yùn)動(dòng)段都是基于直角坐標(biāo)進(jìn)行計(jì) 算的，因此它是直角坐標(biāo)空間的軌跡。

在前面的例子中均假設(shè)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)裝置能夠提供足夠大的功率來滿足關(guān)節(jié)所需的加速 和減速，如前面假設(shè)操作臂在路徑D一段運(yùn)動(dòng)的一開始就可立刻加速到所需的期望速度。如 果這一點(diǎn)不成立，機(jī)器人所沿循的將是一條不同于前面所設(shè)想的軌跡，即在加速到期望速度 之前的軌跡將稍稍落后于設(shè)想的軌跡。為了改進(jìn)這一狀況，可對(duì)路徑進(jìn)行不同方法的分段， 即操作臂開始加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的路徑分段較小，隨后使其以恒定速度運(yùn)動(dòng)，而在接近 B 點(diǎn)時(shí)再 在較小的分段上減速，如圖5-6所示。當(dāng)然對(duì)于路徑上的每一點(diǎn)仍須求解機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué) 方程，這與前面幾種情況類似。如在該例中，不是將直線段AB 等分，而是在開始時(shí)基于方程(172)at² 進(jìn)行劃分，且到具到達(dá)所需要的運(yùn)動(dòng) 速度時(shí)為止，末端運(yùn)動(dòng)則依據(jù)減速過程類似地進(jìn)行 劃分。

還有一種情況是軌跡規(guī)劃的路徑并非直線，而 是某個(gè)期望路徑(例如二次曲線),這時(shí)需要基于 期望路徑計(jì)算出每一段的坐標(biāo)，并進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)的 關(guān)節(jié)量才能實(shí)現(xiàn)沿循期望路徑運(yùn)動(dòng)。至此只考慮了 機(jī)器人在 A 、B 兩點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)，而在多數(shù)情況下， 可能要求機(jī)器人順序通過許多點(diǎn)。下面進(jìn)一步討論 多點(diǎn)間的軌跡規(guī)劃，并Z終實(shí)現(xiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)。 圖5-6具有加速和減速段的軌跡規(guī)劃 如圖5-7所示，假設(shè)機(jī)器人從A 點(diǎn)經(jīng)過B 點(diǎn)運(yùn) 動(dòng)到C 點(diǎn)。一種方法是從A 向B 先加速，再勻速，接近B 時(shí)減速并在到達(dá)B 時(shí)停止，然后 由 B 到C 重復(fù)這一個(gè)過程。這一停一走的不平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)包含了不必要的停止動(dòng)作。一種可行 方法是將B 點(diǎn)兩邊的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行平滑過渡。機(jī)器人先抵達(dá)B 點(diǎn)(如果必要的話可以減速),然 后沿著平滑過渡的路徑重新加速，Z終抵達(dá)并停在C 點(diǎn)。平滑過渡的路徑使機(jī)器人的運(yùn)動(dòng) 更加平穩(wěn)，降低了機(jī)器人的應(yīng)力水平，并且減少了能量消耗。如果機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)由許多段組 成，所有的中間運(yùn)動(dòng)段都可以采用過渡的方式平滑連接在一起。但需要注意由于采用了平滑 過渡曲線，機(jī)器人經(jīng)過的可能不是原來的B 點(diǎn)而是B'點(diǎn)[如圖5-7(a) 所示]。如果要求機(jī) 器人準(zhǔn)確經(jīng)過B 點(diǎn)，可事先設(shè)定一個(gè)不同的B"點(diǎn)，使得平滑過渡曲線正好經(jīng)過B 點(diǎn)[如圖 5-7(b) 所示]。另一種方法如圖5-8所示，在B 點(diǎn)前后各加過渡點(diǎn)D 和E, 使 得B 點(diǎn)落在 DE 連線上，確保機(jī)器人能夠經(jīng)過 B 點(diǎn) 。